Irmandade Da Adaga Negra Resumen

Capítulo 1: ‘Creo que aquí me detendré’ La Conferencia Histórica El 23 de junio de 1993, en Cambridge, Andrew Wiles ofreció una conferencia que cautivó la atención de alrededor de 200 matemáticos, ya que se creía que marcaba la solución al último teorema de Fermat, un problema que había desconcertado a los matemáticos durante más de tres siglos. En medio de rumores y expectativas, Wiles trabajó en secreto, habiendo desarrollado nuevas técnicas matemáticas a lo largo de varios años. Antecedentes de Wiles y el Mito de la Edad Matemática Wiles, un inglés, tenía un impresionante historial en matemáticas, pero algunos creían que había perdido su agudeza. La noción de que el genio matemático se encuentra a menudo en la juventud contrasta con los años de trabajo solitario de Wiles. Mientras que muchos matemáticos talentosos, como Srinivasa Ramanujan, lograron la grandeza a una edad temprana, el trabajo pionero de Wiles llegó a la edad de cuarenta años, rompiendo el estereotipo del declive matemático con la edad. Los Secretos de la Comunidad Matemática Las matemáticas prosperan en la colaboración, pero el aislamiento de Wiles fue una apuesta que podría arriesgar errores debido a la falta de revisión por pares. Finalmente, decidió anunciar sus hallazgos durante un seminario dedicado a la investigación matemática avanzada. La Fascinación Infantil de Wiles por las Matemáticas La pasión de Wiles por las matemáticas comenzó a una edad temprana cuando se topó con un libro de la biblioteca titulado *El Último Problema*, que detallaba el último teorema de Fermat. El teorema está arraigado en el teorema de Pitágoras y sugiere los desafíos planteados por la afirmación de Fermat sobre la imposibilidad de encontrar soluciones en números enteros para exponentes mayores que dos. Pitágoras y la Esencia de los Números Pitágoras estableció una filosofía centrada en los números, viéndolos como un medio para entender el cosmos. Demostró una correlación entre patrones numéricos y fenómenos físicos, resonando a lo largo de la historia el papel fundamental de las matemáticas en la explicación del mundo natural, como lo demuestra su teorema. El Concepto de Prueba Matemática El viaje de Wiles se vincula a la naturaleza de la prueba matemática, un concepto fundamental que distingue a las matemáticas de otros campos. A diferencia de las teorías científicas que solo pueden ser respaldadas por observaciones sujetas a cambios, las pruebas matemáticas son absolutas, derivando conclusiones de axiomas a través del razonamiento lógico. El Último Teorema de Fermat y la Búsqueda de la Prueba Después de presentar el último teorema de Fermat, Wiles sintió emoción y frustración al enfrentarse a la idea de que no existen soluciones enteras para potencias superiores. A pesar de llevar a una larga e intensa búsqueda de prueba por parte de muchos matemáticos, la prueba original de Fermat se perdió, convirtiéndose en un "gran misterio" de las matemáticas. El Momento Culminante Cuando Wiles presentó su prueba en el Instituto Isaac Newton, concluyó con: “Creo que aquí me detendré”, marcando el final de una búsqueda de tres siglos por una solución. La audiencia estalló en aplausos, celebrando un logro monumental mientras permanecían ajenos a los desafíos que se presentaban por delante.

Capítulo 2: El Acertijo Antecedentes de Pierre de Fermat - Nació el 20 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia. - Provenía de una familia adinerada, recibió una educación privilegiada, pero no mostró un talento sobresaliente en matemáticas durante sus primeros años. - Siguió una carrera en el servicio civil, convirtiéndose en concejal en la Cámara de Peticiones de Toulouse. Deberes Judiciales de Fermat - Participó en casos judiciales significativos, incluso sentenció a un sacerdote a muerte. - Mantenía correspondencia con matemáticos notables como Sir Kenelm Digby y John Wallis. - Ascendió en el servicio civil debido a la peste, que llevó a la muerte a muchos funcionarios. Matemáticas en el Siglo XVII - Las matemáticas no estaban muy respetadas; muchos matemáticos estudiaban de forma independiente. - La ciudad de París albergaba un grupo secreto de matemáticos, liderado por el Padre Marin Mersenne, que fomentaba la colaboración. Influencia del Padre Mersenne - Mersenne buscó romper la tradición del secreto en las matemáticas, organizando reuniones y promoviendo el intercambio de información. - Mantenía correspondencia con Fermat, brindándole una conexión rara con otros matemáticos. La Secrecía y Desafíos de Fermat - Prefería mantener en secreto sus pruebas, a menudo provocando a sus contemporáneos al compartir teoremas sin sus pruebas. - Participó en una correspondencia limitada con Blaise Pascal, lo que llevó al desarrollo de la teoría de la probabilidad. El Nacimiento de la Teoría de la Probabilidad - Se originó a partir de un problema planteado por el jugador Antoine Gombaud sobre cómo dividir las apuestas de manera justa en un juego no terminado. - Fermat y Pascal desarrollaron los principios fundamentales de la probabilidad, aplicando análisis lógico a preguntas de azar. El Concepto de Probabilidad e Intuición - Ejemplos contraintuitivos, como el problema de los cumpleaños, ilustraron las complejidades de la probabilidad y cómo la intuición humana puede ser engañosa. Aportaciones de Fermat al Cálculo y a la Teoría de Números - Contribuyó al desarrollo del cálculo y entendió la velocidad y sus implicaciones para la economía. - Su amor por la teoría de números era una prioridad, basándose en el conocimiento ancestral de los números y matemáticos anteriores. Diophantus y la Evolución de la Teoría de Números - Diophantus publicó la *Arithmetica*, detallando problemas y soluciones que influirían en Fermat. - La destrucción de las bibliotecas de Alejandría marcó una disminución en el avance matemático hasta su redescubrimiento durante el Renacimiento. Nota Marginal de Fermat - Mientras exploraba la *Arithmetica*, Fermat afirmó que no existen soluciones en números enteros para la ecuación derivada de modificar el teorema de Pitágoras. - Su famosa afirmación se conoce como El último teorema de Fermat, que establece que no existen dos soluciones enteras para n > 2 en la ecuación x^n + y^n = z^n. El Legado de Fermat y la Búsqueda de la Prueba - Clément-Samuel, el hijo de Fermat, preservó los descubrimientos de su padre, incluida la nota marginal clave. - La búsqueda de la prueba de El último teorema de Fermat se convirtió en un desafío significativo y duradero en las matemáticas. Impacto y Significado Cultural - El teorema ganó notoriedad en parte debido a la simplicidad de su enunciado y la complejidad de su prueba, capturando el interés de los matemáticos durante siglos. - Transcendió la comunidad matemática, haciéndose un lugar en la cultura popular, ilustrando el estatus legendario del último teorema de Fermat.

3 Una Desgracia Matemática Las matemáticas se asemejan a un viaje en una selva misteriosa más que a un camino directo, donde los exploradores a menudo enfrentan callejones sin salida. Andrew Wiles recuerda cómo su fascinación por el último teorema de Fermat comenzó en su infancia, cuando intentó abordar el problema asumiendo que Fermat tenía un conocimiento matemático limitado, solo para encontrarse estancado después de un año. Luego estudió los métodos de matemáticos del pasado que habían intentado resolver el teorema, particularmente el trabajo de Leonhard Euler, quien hizo importantes progresos iniciales. El Cíclope Matemático La excepcional intuición y memoria de Euler le permitieron lograr avances, incluyendo desarrollos en algoritmos para resolver problemas complicados como la predicción de fases lunares. El trabajo de Euler enfatizó la practicidad en las matemáticas, contrastando con la visión anterior de las matemáticas como un mero juego de números. Sus ideas sobre las propiedades de las redes, como el famoso problema de los puentes de Königsberg, llevaron a la formulación de la fórmula de red, estableciendo relaciones dentro de las redes. Euler intentó aplicar un método similar al último teorema de Fermat, centrándose particularmente en demostrar casos específicos. Encontró una prueba para la situación donde n=4 utilizando un método llamado descenso infinito, pero solo pudo extenderlo a n=3 con éxito. Sus incursiones en números imaginarios fueron un intento innovador de abordar el desafío de Fermat, pero eventualmente resultaron insuficientes en otros casos. Un Ritmo Lento Para el siglo XIX, el último teorema de Fermat seguía sin resolverse, a pesar de los progresos en casos específicos. El teorema había ganado notoriedad como uno de los problemas más difíciles de la teoría de números. Sophie Germain, una matemática pionera, realizó investigaciones en secreto debido a prejuicios de género y estableció resultados significativos para ciertos casos primos del teorema, influyendo en otros matemáticos que probaron casos específicos como n=5 y n=7. Monsieur Le Blanc Sophie Germain, bajo un seudónimo masculino, interactuó con matemáticos prominentes, incluyendo a Carl Friedrich Gauss, y contribuyó con ideas que llevaron a avances en la comprensión del teorema. A pesar de sus contribuciones cruciales, el trabajo de Germain fue en gran medida ignorado durante su tiempo. Su posterior investigación en física le valió reconocimiento, destacando la lucha de las mujeres en las matemáticas. Los Sobres Sellados En la década de 1840, la Academia Francesa anunció un concurso para resolver el último teorema de Fermat, atrayendo la atención de destacados matemáticos como Gabriel Lamé y Augustin Louis Cauchy. Sin embargo, sus intentos se vieron frustrados debido a fallos fundamentales relacionados con la factorización única en sus pruebas. Ernst Kummer criticó su trabajo y predijo que una prueba abarcadora sería esquiva debido a los primos irregulares infinitos. La búsqueda del último teorema de Fermat continuó, llevando a un creciente escepticismo sobre si alguna vez podría ser probado. Wiles, inspirado por la historia y los desafíos de quienes le precedieron, se mantuvo dedicado a descubrir la solución, haciendo la transición de técnicas matemáticas históricas a enfoques contemporáneos. El viaje para resolver el último teorema de Fermat refleja una narrativa más profunda de perseverancia, innovación y la compleja interacción de personalidades en la historia de las matemáticas.

Resumen del Capítulo 4: Hacia la Abstracción En este capítulo, se explora la búsqueda de una prueba del último teorema de Fermat, destacando el desinterés creciente por el teorema tras el trabajo de Ernst Kummer. A pesar de los desafíos, Paul Wolfskehl revitaliza el interés en 1908 al establecer el Premio Wolfskehl, ofreciendo una recompensa sustancial por una prueba válida. Su crisis personal y el posterior descubrimiento matemático revitalizan su vida e inspiran a otros. La Era de los Rompecabezas, Acertijos y Enigmas Durante finales del siglo XIX, las matemáticas se vieron impregnadas de rompecabezas lúdicos, atrayendo a matemáticos aficionados fascinados por problemas como el último teorema de Fermat. Figuras como Henry Dudeney y Sam Loyd popularizaron los acertijos, transformando el enfoque para resolver problemas complejos de teoremas en rompecabezas cautivadores. Los Fundamentos del Conocimiento El cambio de siglo vio a matemáticos, liderados por figuras como David Hilbert, esforzándose por reevaluar rigurosamente los fundamentos matemáticos. Este período enfatizó la importancia de los axiomas y la consistencia lógica, buscando consolidar el conocimiento previo bajo pruebas rigurosas. Sin embargo, paradojas como la paradoja de Russell expusieron contradicciones inherentes, llevando a dudas existenciales sobre la completitud de los sistemas matemáticos. La Indecibilidad de Gödel El trabajo pionero de Kurt Gödel en 1931 desafió la creencia en una matemática completa y consistente, sugiriendo que algunas verdades no podían ser ni probadas ni refutadas. Sus hallazgos introdujeron incertidumbre en las matemáticas, sugiriendo que problemas, como el último teorema de Fermat, podrían permanecer perpetuamente insolubles. La Impulsión de la Curiosidad A pesar de las conclusiones de Gödel, los matemáticos continuaron sintiéndose atraídos por el último teorema de Fermat, impulsados por la curiosidad y el atractivo de resolver un enigma perdurable. La narrativa ilustra cómo la búsqueda de soluciones a veces puede trascender la necesidad de aplicaciones prácticas, destacando las matemáticas como una búsqueda de belleza y descubrimiento. El Enfoque de Fuerza Bruta La Segunda Guerra Mundial catalizó avances en computación, permitiendo a los matemáticos automatizar cálculos que antes parecían insuperables. La teoría de juegos de John von Neumann y los desarrollos de Alan Turing en maquinaria de descifrado de códigos revolucionaron el enfoque ante problemas matemáticos, incluyendo el último teorema de Fermat, facilitando una extensa verificación numérica y subrayando los límites de estos métodos. El Graduado Andrew Wiles emergió como una figura clave en la comunidad matemática tras embarcarse en sus estudios sobre curvas elípticas, que prepararon el terreno para un nuevo enfoque hacia el abordaje del último teorema de Fermat. Su trabajo finalmente combinó perspectivas históricas con técnicas modernas, vinculando ecuaciones elípticas con el desafío de Fermat de una manera transformadora. Este capítulo entrelaza de manera intrincada narrativas personales, desarrollos históricos y teorías matemáticas, rastreando una curiosidad humana inquebrantable que continúa inspirando la investigación sobre uno de los enigmas más elusivos de las matemáticas.

5 Prueba por Contradicción Introducción a la Belleza en las Matemáticas Las matemáticas, al igual que el arte y la poesía, se juzgan por su belleza. G.H. Hardy enfatizó que las matemáticas feas no tienen un lugar duradero en el mundo. Encuentro de Goro Shimura y Yutaka Taniyama En 1954, Goro Shimura buscó un artículo en una biblioteca, encontrando que estaba prestado por Yutaka Taniyama. Su correspondencia llevó a una colaboración que tendría un impacto significativo en la historia matemática. Antecedentes de Taniyama y Shimura Taniyama, nacido en 1927, enfrentó interrupciones en su educación debido a enfermedades y guerras. Shimura, un año menor, también tuvo una educación interrumpida durante la guerra, pero se sintió atraído por las matemáticas. Ambos se encontraron en la universidad mientras navegaban por un Tokio en recuperación después de la guerra. Personalidades Distintas y Ética de Trabajo Shimura era disciplinado y estructurado, mientras que Taniyama era un genio caprichoso y despistado. Sus enfoques diferentes hacia la vida y las matemáticas enriquecieron sus esfuerzos de colaboración. Matemáticos Autodidactas Rechazando la mentoría tradicional, Shimura y Taniyama participaron en seminarios autogestionados, donde exploraron temas no convencionales, incluyendo formas modulares. Entendiendo las Formas Modulares Las formas modulares son objetos matemáticos altamente simétricos, descritos a través de números complejos, que reflejan una profunda belleza y complejidad matemática. Existen dentro de un espacio hiperbólico de cuatro dimensiones, un concepto desafiante para la mayoría de visualizar. La Idea Innovadora de Taniyama En 1955, Taniyama presentó un trabajo que conectaba formas modulares con ecuaciones elípticas en un simposio internacional. Sus conjeturas sugerían una relación fundamental entre estas dos áreas de las matemáticas. Muerte Trágica de Taniyama A pesar de un futuro prometedor, Taniyama se suicidó en 1958, dejando un impacto duradero en sus colegas y en la comunidad matemática. La Conjetura Taniyama-Shimura Después de la muerte de Taniyama, Shimura trabajó para desarrollar su conjetura, la cual atrajo el interés de matemáticos notables, llevando a su aceptación más amplia como una teoría significativa en matemáticas. El Vínculo con El Último Teorema de Fermat En 1984, Gerhard Frey propuso que demostrar la conjetura Taniyama-Shimura implicaría la veracidad del Último Teorema de Fermat. Sus ideas relacionaron las ecuaciones elípticas con la ecuación de Fermat, enmarcando un camino hacia una prueba por contradicción. Desafíos y Avances A pesar de la emoción inicial, los matemáticos lucharon por probar si la ecuación elíptica de Frey no era modular. Ken Ribet hizo avances significativos, estableciendo eventualmente un fuerte vínculo entre Taniyama-Shimura y el Último Teorema de Fermat. Conclusión: La Búsqueda para Probar Taniyama-Shimura El descubrimiento de Ribet encendió la esperanza, pero persistió el escepticismo, ya que demostrar la conjetura Taniyama-Shimura seguía siendo esquivo. La búsqueda por unir estos reinos matemáticos continuó, entrelazándose con la historia del Último Teorema de Fermat e inspirando futuras indagaciones en el campo.

El Cálculo Secreto Un experto en resolver problemas requiere tanto una imaginación inquieta como una pertinacia paciente, según Howard W. Eves. En el verano de 1986, Andrew Wiles se enteró por un amigo de que Ken Ribet había establecido una conexión entre la conjetura de Taniyama–Shimura y el último teorema de Fermat. Esta revelación avivó la ambición de Wiles de toda la vida de resolver el último teorema de Fermat mediante la demostración de la conjetura. A pesar del escepticismo de sus colegas, Wiles creía que incluso un intento fallido generaría matemáticas fructíferas. El Recluso del Ático David Hilbert una vez comentó que el esfuerzo necesario para abordar el último teorema de Fermat era demasiado considerable para lo que él percibía como un probable fracaso. Wiles, sin embargo, se sumergió completamente en el problema, dedicando dieciocho meses a dominar todos los aspectos de las ecuaciones elípticas y las formas modulares pertinentes a sus objetivos. Para minimizar las distracciones, trabajó en aislamiento en su estudio del ático, abandonando otras actividades académicas, mientras mantenía sus compromisos de enseñanza. Este periodo involucró profundas contemplaciones, cálculos y un enfoque en el misterio detrás de las matemáticas, a menudo requiriendo que se apartara para permitir que su subconsciente resolviera los desafíos. Su decisión de trabajar en secreto reflejaba un deseo de concentración y un miedo a ser superado por rivales si lograba algún avance. La única persona que era consciente de sus esfuerzos era su esposa, Nada. Duelo con la Infinidad Wiles buscaba demostrar la conjetura de Taniyama–Shimura, afirmando que cada ecuación elíptica corresponde a una forma modular—una tarea complicada por la naturaleza infinita de ambos conjuntos. Wiles inicialmente luchó con métodos tradicionales y eventualmente adoptó la inducción, una estrategia que permite probar un número infinito de casos al establecer relaciones entre un caso y el siguiente. Su avance se originó en el trabajo de Evariste Galois, cuyas ideas sobre teoría de grupos sentaron las bases para el método de Wiles. Wiles se enfocó en demostrar el primer caso de coincidencia de elementos de ecuaciones elípticas (serie E) con formas modulares (serie M) antes de proceder a demostrar que la relación se mantenía para los elementos subsiguientes. Derribando el Primer Dominó Los conocimientos de Wiles se cristalizaron a través de la aplicación de la teoría de grupos de Galois, lo que le permitió establecer que el primer elemento en cada serie E debe corresponder al primero en la serie M. Sin embargo, después de lograr este paso fundamental, aún quedaban desafíos adicionales en la aplicación de su argumento inductivo de manera integral en todos los casos. Dos años de trabajo dedicado culminaron en la realización de que la aplicación de una técnica llamada teoría de Iwasawa podría extender su argumento de manera amplia. Sin embargo, la confianza flaqueó a medida que pasaron los años sin avances significativos, Wiles dudando de si existían las herramientas matemáticas necesarias para alcanzar su meta. El Método de Kolyvagin y Flach Un encuentro fortuito con John Coates reavivó la esperanza de Wiles cuando se enteró del método Kolyvagin–Flach, diseñado para analizar ecuaciones elípticas. Este nuevo enfoque prometía un camino para extender las pruebas de Wiles a lo largo de familias de curvas elípticas. Al aprovechar este método, Wiles se dedicó a refinarlo para sus propósitos. Su meticulosa adaptación dio fruto, probando la modularidad para las familias subsiguientes de ecuaciones necesarias para completar su empuje hacia el último teorema de Fermat. La Conferencia del Siglo En mayo de 1993, Wiles expresó confianza en su prueba de la conjetura de Taniyama–Shimura—y por tanto, del último teorema de Fermat. Planeó revelar sus hallazgos durante una serie de conferencias en el Instituto Isaac Newton en Cambridge. Había una palpable excitación en torno a sus conferencias, con rumores circulando de que había resuelto exitosamente el antiguo problema de Fermat. Las conferencias de Wiles se desarrollaron de manera metódica, creando tensión antes de culminar en la revelación de su prueba. El evento se volvió histórico, oscilando con emoción palpable a medida que la audiencia comprendió plenamente la magnitud del logro de Wiles. Las Consecuencias Después de la conferencia, la comunidad matemática zumbaba con emoción por el logro de Wiles. Los medios rápidamente se enteraron de la extraordinaria afirmación, convirtiendo a Wiles en un nombre conocido y llevándolo a un inesperado foco de atención. A pesar de la jubilación, la siguiente fase crítica involucró una rigurosa revisión por pares, como es costumbre en el trabajo académico. Las ansiedades de Wiles giraban en torno a la espera de comentarios, esperando que después de años de aislamiento y arduo trabajo, su prueba fuera reconocida como válida por sus pares. A medida que se acercaba el verano de escrutinio, el mundo matemático aguardaba la validación de la larga búsqueda de la resolución del último teorema de Fermat.

Un pequeño problema Este capítulo discute los significativos desafíos que enfrentó el matemático Andrew Wiles tras anunciar su prueba de El último teorema de Fermat. El comité Wolfskehl, a la espera de verificación y publicación, no pudo otorgarle su premio de inmediato. La prueba de Wiles fue sometida a un riguroso escrutinio por parte de múltiples revisores debido a su complejidad e importancia. El proceso de verificación Wiles presentó su prueba a la revista *Inventiones Mathematicae*, donde fue asignada a seis revisores para su evaluación. Entre ellos, Nick Katz se topó con un error que parecía inocente, pero que se convirtió en un defecto fundamental dentro de la prueba de Wiles, afectando un argumento crítico relacionado con el método Kolyvagin–Flach. El instalador de alfombra La realización del error por parte de Katz llevó a Wiles a un período de intenso escrutinio, donde intentó resolver el problema en aislamiento. La creciente presión y el deseo de mantener la confidencialidad durante este tiempo contrastaban con la creciente especulación y preocupación de la comunidad sobre el estado de la prueba de Wiles. El correo electrónico pesadilla Mientras Wiles luchaba por corregir el error, circularon rumores infundados sobre un posible contraejemplo al último teorema de Fermat. Cuando el matemático Noam Elkies envió un correo electrónico falso afirmando haber refutado el teorema, se desató la confusión y se renovó el escrutinio sobre el trabajo de Wiles. A pesar de los persistentes intentos de resolver el asunto, Wiles sucumbió a la desesperación, contemplando la posibilidad de publicar la prueba defectuosa. El regalo de cumpleaños Después de ocho años de trabajo, Wiles, con la ayuda de Richard Taylor, continuó buscando soluciones. Wiles tuvo un avance cuando descubrió una conexión entre el fallido método Kolyvagin–Flach y su enfoque anterior utilizando la teoría de Iwasawa. Este momento marcó un punto de inflexión significativo, culminando en que Wiles finalmente completara su manuscrito, que presentó a su esposa como un regalo de cumpleaños tan esperado. El capítulo refleja los intensos desafíos personales y profesionales que Wiles enfrentó durante su monumental viaje para probar El último teorema de Fermat, mostrando su resiliencia en medio de las presiones de la academia y el escrutinio público.